正十二面体プラネタリウム用の原図をつくる

100円ショップのダイソーでプラネタリウムの工作キットを売っていると聞いて、おもしろそうなので100円ならと買ってきた。厚紙細工の正十二面体に針のようなもので細かい穴を開けて、中に豆電球を入れて乾電池 (別売) で点灯させるというもの。買う前に聞いて知っていたが、正十二面体をかたちづくる厚紙には、穴を開けるための星の位置が描いてあったりするわけではなく、自分で好きなように穴をあければいいというスタンスのもの。まあ100円でつくるお遊びのものだから、適当に点々と光って、わあきれいね、で本来十分なものだろう。しかし、せっかくなのできちんと実際の星の位置に穴を開けて正しい星の並びを投影してみたいと思った。

思ったはいいが、どうしたら正十二面体に正しく星の位置を描けるだろうか。学生さんが学園祭の出し物などで手作りプラネタリウムを作ったりするときも同じような問題に直面するのではないだろうか。円筒形なら、よくある北天と中緯度の星図をもってくればいいだけかもしれないが、正十二面体は各面が五角形というちょっと面倒な形をしている。面上に経度緯度のメッシュを引いて星図と見比べながら点を打っていくという方法もあるかもしれないが、メッシュを正しく引くのも難しそうだ。

最もストレートな解としては、恒星の座標データから、球面三角法とかなんとかの計算をするプログラムを書いて結果をプロットすることだろうが、これはなかなか大変そうである。そこで、私が考えたのは、ステラナビゲータにご登場いただくこと。正しい恒星データを持っていて、描画もしてくれる。これを、正十二面体の各面の方向に向けて表示させたときの画像をそれぞれ五角形に切り取って、正十二面体の展開図になっている台紙の各面に合わせて並べてやればいい。と、方針は定まった。

さて、まずは座標 (角度) の計算が必要になる。正十二面体は一見複雑そうにみえるが、必要な基本の角度の数値で求めるのがややこしいは3つだけだ。正十二面体状の点を対応する天球の赤経赤緯で表すと、赤経の方は、各頂点、中心点などは一周を5等分した角度と、それらの中間とにしか位置しないので、一周を10で割るだけで、計算というほどではない。天球上の座標では経度は一周24hで表すので、2.4hすなわち、2h 24m刻みの座標となる。下は真上から見た図。

経度
面倒なのは緯度の方で、まず、面は真北、真南の面以外は、北半球側に5面、南半球側に5面。斜めになって同じようにならんでいるので、これらの中心の緯度は北緯南緯は別として絶対値は全部同じである (下図中の緑色)。各頂点の緯度はというと、真北の面の周囲の頂点の緯度の値がひとつ (青)。そして、斜めになっている方の五角形の、赤道寄りの頂点も、北緯赤緯は別として絶対値が全部同じである (赤)。これら3つの緯度の値がちょっとややこしい。ややこしいが、なんとか幾何学の問題を解いて3つの値さえ求めれば、必要な計算はもうそれだけでおしまいである。実際は2つ求めればもうひとつは簡単な加減算で求まる。

緯度

これで必要な座標の値は全部わかったので、まず、ステラナビゲータ上でお絵かき機能を使って、上で求めた座標をもとに、各面の境目になる、辺の部分の線を描いておく。

表示させる星の等級は4等星までくらいがちょうどよさそうだった。印刷したときにわかりやすい程度に星像の大きさを調節。星座線も表示しておいた。表示形式を心射図法にして (これ重要)、各面の中心の座標が画面の中心になるようにして (これも重要)、画面コピーをとる。これを11面分繰り返す。できた画像の五角形で囲まれた部分だけを切り出して、PhotoShop上で、展開図に合わせて並べる。現物の寸法を測って、dpi値を調節して、印刷寸法が型紙ぴったりになるようにする。この恒星原図を、台紙の組み立てた時に外側に来る面の上に重ねて穴を開けることになるので、裏表逆になるよう画像反転しておく。

これで完成。もともとの寸法が小さいので、図としてはそこそこ精密なものができたように思う。

恒星原図

さて、実際にそのとおりに穴を開けて実際に組み立ててみたのだが、果たして投影された星像に星座をみつけるのはなかなか難しい (笑)。穴を開ける大きさが、なかなか実際の等級に応じた明るさの違いが生じるようにうまく開けられていないこともあるだろうし、そもそもこんな小さなピンホールプラネタリウムなのでうまく投影像を見られないというのもあるだろう。しかしそれでも、適当にぷつぷつ穴を開けたのではなく、実際の星の位置に穴を開けてあるのだという満足感には浸れるのではないだろうか (笑)。

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